Les sujets et corrigés du concours de professeur des écoles du groupement 1

L’épreuve écrite de mathématiques a une durée de 4 heures et est composée de trois parties :

• une première constituée d’un problème global portant sur un ou plusieurs domaines des programmes de l’école ou du collège ;
• une deuxième partie composée d’exercices indépendants, complémentaires à la première partie ;
• une troisième partie didactique proposant l’analyse de supports d’enseignement, de productions d’élèves... choisis dans le cadre des programmes de l’école primaire.

La première partie de ce sujet concerne les pneumatiques et les distances de freinage.

• A) Lecture des informations sur un pneumatique : étude des différentes inscriptions sur un pneumatique, codage et décodage des informations.
• B) Distance d'arrêt et lecture de diagramme : formule de la distance d'arrêt en fonction de la distance de réaction et de la distance de freinage, lecture graphique d'un diagramme en escargot représentant la distance d'arrêt sur route sèche en fonction de la vitesse.
• C) Au cinéma : calcul de vitesse de roue afin qu'elle paraisse immobile avec une caméra ayant une vitesse de défilement de 24 images par seconde.

La deuxième partie comporte quatre exercices indépendants :

• Exercice 1 : calcul de volumes et de capacités. Calcul du volume d'un silo de farine, de sa capacité à nourrir un troupeau de vaches et du parallélisme des échelles d'accès au silo.
• Exercice 2 : Probabilités. Différentes calculs de probabilité au sujet d'une loterie.
• Exercice 3 : codage et programmation. À partir d'un programme fait avec scratch, il s'agit d'expliquer  ce que réalise le programme.
• Exercice 4 : affirmation. Quatre affirmations à justifier ou non : volume/capacité, fractions, pourcentages, angles. 

La troisième partie, didactique, comporte trois situations différentes :

• Situation 1 : Calcul en ligne au cycle 2. complémentarité du calcul en ligne/posé, calcul additif, calcul multiplicatif.
• Situation 2 : calcul de périmètre au CM2. Calcul du périmètre d'un triangle dont les mesures sont données en unités et fraction décimale.
• Situation 3 : Fractions et décimaux en cycle 3. Étude de productions d'élèves sur la somme de deux nombres décimaux.

La première partie de ce sujet a pour but l'étude de la faisabilité d'une portion d'autoroute reliant Brive-la-Gaillarde à un certain endroit de la portion Bordeaux-Montauban.

• 1) Représentation géométrique : l'objectif est de modéliser la situation par la construction d'un triangle à une certaine échelle. On y utilise des outils de géométrie plane et de proportionnalité.
• 2) Étude de faisabilité : cette partie tourne autour de l'optimisation du problème en étudiant le cas où la portion d'autoroute construite est la plus courte possible. On y traite essentiellement du théorème de Pythagore (classique et généralisé).
• 3) Validation du projet : l'étude menée dans la question 2) n'est pas réalisable en raison du lieu de l'échangeur situé sur une zone protégée. On propose donc dans cette question de déplacer ce lieu et de calculer dans ce cas la longueur de la portion. Les questions font appel à la trigonométrie principalement.
• 4) Tarification : à partir de cette sous-partie, le projet est réalisé. Un péage a été mis en place avec un tarif unitaire (tarif par voyage) et un abonnement donnant une réduction sur le tarif unitaire. Le but est de comparer ces deux tarifs, et notamment de savoir à partir de quel moment le deuxième tarif est plus avantageux. On y rencontre des fonctions, sous leur aspect graphique et algébrique.
• 5) Les dangers de l'autoroute : dans cette dernière partie, on modélise la distance de freinage en fonction du temps de réaction et de l'état de la route (sèche ou humide). Une étude de cas est proposée. Le domaine mathématique est celui des fonctions (formule complexe, lecture graphique et tableur).

La deuxième partie comporte trois exercices indépendants :

• Exercice 1 : probabilités. Un sondage est organisé à propos du nombre de fois où une certaine population est allée au cinéma durant le mois de janvier 2017 en fonction de l'âge. Après avoir complété un tableau, quelques calculs de probabilités sont demandés. 
• Exercice 2 : codage et programmation. À partir d'un programme fait avec scratch, il s'agit de donner des résultats en fonction du nombre de départ choisi.
• Exercice 3 : vrai/faux. Un mélange de notions, de l'arithmétique à la proportionnalité dans le domaine des grandeurs et mesures (aires et périmètres) en passant par les équations.

La troisième partie, didactique, comporte trois situations différentes :

• Situation 1 :construction du nombre au cycle 1. Activité de construction du principe cardinal avec étude de stratégies d'élèves : le but est de ramener autant de biscuits que de poupées.
• Situation 2 : division au cycle 3 (CM2). À partir de l'énoncé suivant : " Il faut 9 litres d’huile pour remplir complètement 5 bidons identiques. Quelle est la contenance, en litre, de chacun de ces bidons ? ", il s'agit d'analyser des productions d'élèves et de les faire évoluer.
• Situation 3 : problème de proportionnalité au cycle 3 (CM2) autour de la recette des crêpes. Étude de productions d'élèves et de l'effet d'une modification sur ces procédures.

La première partie de ce sujet a pour thème la piscine dans trois sous-parties :

• sous-partie A : on y retrouve la notion de fonctions avec une étude graphique et fonctionnelle du volume de la piscine ;
• sous-partie B : cette partie tourne autour du remplissage de la piscine avec les notions de capacité, de proportionnalité et de pourcentages ;
• sous-partie C : ces dernières questions font appel à l'arithmétique, et en particulier au dénombrement pour déterminer le nombre de dalles nécessaires afin de carreler le pourtour de la piscine.

La deuxième partie comporte quatre exercices indépendants :

• exercice 1 : algorithmique, tableur et fonctions ;
• exercice 2 : vrai/faux à justifier sur les nombres  ;
• exercice 3 : probabilités à partir d'un diagramme en bâtons ;
• exercice 4 : géométrie plane, Thalès et trigonométrie.

La troisième partie, didactique, comporte trois situations différentes :

• situation 1 : construction des nombres au cycle 1 (MS) ;
• situation 2 : résolution de problème dans le domaine numérique au cycle 3 ;
• situation 3 : problème de proportionnalité au cycle 3 (CM2).

La première partie de ce sujet traite du calcul d'aire de polygones de Pick. On y demande de vérifier, sur différents exemples de polygones, que la formule de Pick fonctionne, puis de démontrer cette formule dans le cas d'un rectangle particulier disposé dans sa forme prototypique.

On peut retrouver des informations supplémentaires à travers les liens suivants :

• une affiche créée à l'occasion de la fête de la science 2014, par Ibrahim Moullan, membre de l'IREM de la Réunion
  
  
• un exemple de démonstration, visible sur le site Mathweb.fr.

La deuxième partie comporte quatre exercices indépendants :

• exercice 1 : arithmétique ;
• exercice 2 : fonction linéaire et proportionnalité ;
• exercice 3 : théorèmes de Pythagore et de Thalès.

La troisième partie, didactique, traite des fractions décimales, des nombres décimaux et des divisions.

La première partie du sujet 0 traite du théorème de Pythagore. On y demande de démontrer ce théorème par la méthode d’Abraham Garfield (1831-1881). Il existe plus de 300 démonstrations au théorème de Pythagore, dont beaucoup sont basées sur du découpage.
Quelques exemples :

la démonstration d’Euclide   le découpage d’Airy   une démonstration chinoise

La deuxième partie traite de probabilités, de statistiques, de la notion de vitesse pour la partie disciplinaire, et d’une partie didactique sur les durées et horaires en cycle 3.

La troisième partie est une analyse d’exercices proposés à des élèves et de productions d’élèves relevant de la proportionnalité.

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